Задание

Основано на упр. 5 стр. 19.

Дополни решение и запиши ответ

Реши уравнение |x+2| - 8 = |x-6|.

а) Уравнение вида | f(x) | = g(x):

1) при g(x) \lt 0 не имеет корней;

2) при g(x) \ge 0 имеет корни, совпадающие со всеми корнями уравнений f(x) = g(x) и f(x) = -g(x), и только эти корни.

б) Корни уравнения |f(х)| = |g(x)| совпадают со всеми корнями уравнений f(х) = g(x) и f(x) = -g(x).

в) Корни уравнения |f(x)| = g(x) можно искать следующим образом:

1) найти корни уравнения f^2(x) = g^2(x);

2) проверить найденные корни подстановкой в исходное уравнение.

Решение.

Точки x = -2 и x = разбивают числовую прямую на три промежутка. При переходе через каждую из этих точек значение одного из выражений, стоящих под знаками модулей, меняет свой знак (рис. 10). Учитывая этот факт, реши исходное уравнение на каждом из образовавшихся промежутков:

\begin{cases} x \lt -2, \\ -(x+2)-8 = - (x-6), \end{cases}

\begin{cases} x \lt -2, \\ -x-2-8=-x+6, \end{cases}

\begin{cases} x \lt -2, \\ -10=6. \end{cases}

Система не имеет решений.

\begin{cases} -2 \le x \lt 6, \\ x+2-8= -(x-6), \end{cases}

\begin{cases}-2 \le x \lt 6, \\ x-6 = -x+6, \end{cases}

\begin{cases} -2 \le x \lt 6, \\ x = 6. \end{cases}

Система не имеет решений.

\begin{cases} x \ge 6, \\ x+2-8 = x-6, \end{cases}

\begin{cases} x \ge 6, \\ x-6=x-6, \end{cases}

\begin{cases} x \ge 6, \\ 0=0. \end{cases}

Решение этой системы: x \ge .

Ответ: x \ge .