Задание

Основано на упр. 4, стр. 7

Заполни пропуски в решении

Докажи, что при любом n \in N число a = 6n^5 + 15n^4 + 10n^3 - n делится на 30.

Решение. Нужно доказать, что a делится на 2, 3 и 5.

а) Если n — чётное число, то a делится на , а если n — нечётное число, то a также делится на , так как 15n^4 - n делится на (сумма двух нёчетных чисел).

б) Так как 6n^5 + 15n^4 + 9n^3 = b делится на , a = b + n^3 - n, где n^3 - n = c — число, делящееся на , то a = b + c делится на .

в) Заметим, что число 5n^5 + 15n^4 + 10n^3 делится на . Поэтому a делится на тогда и только тогда, когда число d = n^5 - n делится на .

Если n делится на , то и d делится на . Пусть n не делится на 5. Тогда n = 5p \pm 1 или n = 5q \pm 2, где р \in N, q \in N. Так как d = n(n^2 - 1)(n^2 + 1), то при n = 5p \pm 1 число n^2 - 1 делится на , а при n = 5q \pm 2 число n^2 + 1 делится на . Следовательно, d делится на при любом n \in N.