Задание

Основано на упр. 3 стр. 42

Заполни пропуски в решении

Докажи, что если x \gt 0, то выполняется неравенство \ln(1+x) \gt x - \dfrac{x^{2}}{2}.

Решение. Рассмотрим функцию \varphi=\ln(1+x)-x+ \dfrac{x^{2}}{2}. Так как \varphi '(x) = \dfrac{1}{1+x}-1+x = \dfrac{x^{2}}{1+x} \gt 0 при x \gt 0, то функция \varphi(x) является возрастающей при x \gt 0. Функция \varphi(x) непрерывна на отрезке [ ; x] для любого x\gt 0. Поэтому она возрастает на этом отрезке и \varphi(x) \gt \varphi(0), где \varphi(0) =0. Следовательно, \varphi(x) \gt 0 при x \gt 0, т. е. выполняется неравенство \ln(1+x) \gt x - \dfrac{x^{2}}{2} при x \gt 0.