Задание

Основано на упр. 2, стр. 43

Выполни задание

Освободись от иррациональности в знаменателе дроби А = \dfrac{1}{1 + \sqrt[3]{2} + 2\sqrt[3]{4}}.

Решение.

Обозначим \sqrt[3]{2} = a, тогда a^3 = , A = \dfrac{1}{1 + a + 2a^2} = \dfrac{1}{a^2 + (1 + a + a^2)}.

Умножая числитель и знаменатель полученной дроби на а - 1 и применяя формулу разности кубов, запишем А так: A =\dfrac{a - 1}{a^2(a - 1) + a^3 - 1} = \dfrac{a - 1}{3 - a^2} (учитывая, что а^3 = ).

A = \dfrac{a - 1}{3 - a^2} = \dfrac{\sqrt[3]{2} - 1}{3 - \sqrt[3]{4}} = \dfrac{(\sqrt[3]{2} - 1)(9 + 3\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{16})}{23} = \dfrac{7\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{4} - 3}{23}.