Основано на упр. 2, стр. 19

Заполни пропуски в решении

Найди множество значений функции \(y = \dfrac{5}{\pi} \arcsin \left( \dfrac{\sqrt{2} - \sin x + \cos x}{2\sqrt{2}} \right)\) .

Решение. После преобразования приведём функцию к виду \(y = b \arcsin ( \sin x )\) . Выделив целую часть из дроби, получим \(\varphi (x) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2 \sqrt{2}} (\sin x - \cos x)\) . Воспользуемся методомвспомогательного угла и представим разность \(\sin x - \cos x\) в виде \(\sqrt{2} \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \sin x - \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cos x \right) = \sqrt{2} \sin \left( x - \dfrac{\pi}{4} \right)\) , где \(\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \arccos \dfrac{\pi}{4}\) , т.е. \(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2 \sqrt{2}} (\sin x - \cos x) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2 \sqrt{2}} \sqrt{2} \sin \left( x - \dfrac{\pi}{4} \right)\) .

Так как \(\left| \sin \left( x - \dfrac{\pi}{4} \right) \right| \le \) [ ], то [ ] \(\le \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} \sin \left( x - \dfrac{\pi}{4} \right) \le \) [ ], т. е. [ ] \(\le \varphi (x) \le \) [ ], причём \(\varphi (x)\) принимает все значения из отрезка \([0; 1]\) .

Так как арксинус возрастает при всех действительных значениях \(x\) из области определения и \(\arcsin 0 = 0\) , \(\arcsin 1 = \dfrac{\pi}{2}\) , то [ ] \(\le \arcsin \left( \dfrac{ \sqrt{2} - \sin x + \cos x }{2 \sqrt{2} } \right) \le \dfrac{\pi}{2}\) , значит,

[ ] \(\le \dfrac{5}{\pi} \arcsin \left( \dfrac{\sqrt{2} - \sin x + \cos x}{2 \sqrt{2} } \right) \le \dfrac{5}{2}\) ,

причём функция \(y\) принимает все значения из отрезка \(\left[ 0; \dfrac{5}{2} \right]\) .