Задание

Основано на упр. 2, стр. 14

Заполни пропуски в решении

Реши неравенство x^{\sin{x}-a} \gt 1, если 0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}, a \gt 0.

Решение. При 0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}, a \gt 0 данное неравенство можно представить в виде (\sin{x}-a)\lg{x} \gt .

Если a \geqslant 1, то \sin{x}-a \lt 0, тогда \lg{x} \lt 0, откуда

\lt x \lt .

Если 0 \lt a \lt 1, то \sin{x}-a может принимать как положительные, так и отрицателные значения (рис. 5).

Так как 0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}, то неравество \sin{x}-a \lt выполняется при

0 \lt x \lt \arcsin{a}, а

неравенство \sin{x}-a \gt выполянется при

\arcsin{a} \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}. Неравенство \lg{x} \lt 0 выполняется при

\lt x \lt , а неравенство \lg{x} \gt выполняется при

\lt x \lt \dfrac{\pi}{2}

(по условию \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}).

Таким образом, неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств

\begin{cases} 0 \lt x \lt \arcsin{a}, \\ 0 \lt x \lt 1, \end{cases}

\begin{cases} \arcsin{a} \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}, \\ 1 \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}. \end{cases}

В первой системе 0 \lt x \lt \arcsin{a}, если \arcsin{a} \leqslant , т.е. a \leqslant \sin , и \lt x \lt , если \arcsin{a} \gt , т.е. a \gt \sin .

Во второй системе \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}, если \arcsin{a} \leqslant , т.е. \lt a \leqslant \sin ; \arcsin{a} \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}, если \arcsin{a} \gt , т.е. a \gt \sin .

Ответ:

\lt x \lt \arcsin{a}, \lt x \lt \dfrac{\pi}{2} при a \leqslant \sin ;

\lt x \lt , \arcsin{a} \lt x \lt \dfrac{\pi}{2} при \sin \lt a \lt , a \geqslant .