Выполни задание
Найди все натуральные значения \(n\) , при которых является целым числом значение выражения:
- \(\cfrac{4n^{2}-5n-6}{n}\) .
Решение.
Представим данную дробь в виде разности целого и дробного выражений:
\({\cfrac{4n^{2}-5n-6}{n} = \cfrac{4n^{2}}{n} - \cfrac{5n}{n} - \cfrac{6}{n}\raisebox{-1.5em}{\),\(}\mathrlap{\,=}}\) \({ = 4n -5 - \cfrac{6}{n}}\) .
Выражение \(4n-5\) принимает \(...\) значения при любом натуральном \(n\) . Поэтому выражение \(4n-5-\cfrac{6}{n}\) принимает целые значения, если значения выражения \(\cfrac{6}{n}\) являются целыми числами. Это возможно только при следующих натуральных значениях \(n\) : \(...\)
\(\cfrac{5n^{2}+3n+14}{n}\) .
\(\cfrac{10n+5}{5n-2}\) .
Решение.
Имеем: \({\cfrac{10n+5}{5n-2} = \cfrac{10n-4+9}{5n-2}\raisebox{-1.5em}{\),\(}\mathrlap{\,=}}\) \({ = \cfrac{10n-4}{5n-2} + \cfrac{9}{5n-2}\raisebox{-1.5em}{\),\(}\mathrlap{\,=}}\) \({ = \cfrac{2(5n-2)}{5n-2} + \cfrac{9}{5n-2} \raisebox{-1.5em}{\),\(}\mathrlap{\,=}}\) \({= 2 + \cfrac{9}{5n-2}}\) .
Следовательно, данное выражение принимает целые значения, если значения выражения \(\cfrac{9}{5n-2}\) являются целыми числами. Это возможно, если значение выражения \(5n-2\) равно одному из делителей числа \(9\) , то есть из чисел \(1...\)
Имеем: \(5n-2 = 1\) ; \(5n = 3\) ; \(n = 0,6\) — не удовлетворяет.
- \(\cfrac{21n-1}{7n+1}\) .