На основе упражнения \(84\) (стр. \(62\) )

Найдите площадь боковой поверхности

Все двугранные углы при основании четырёхугольной пирамиды равны между собой. Высота пирамиды равна \(12\) м, а периметр и площадь основания равны \(48\) м и \(120\) м \(^2\) . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение.

1. По условию задачи все двугранные углы при [ ]пирамиды равны, следовательно, ее высота \(МО\) проходит через [основание|центр|середину|сторону] окружности, [ ]в основание, а все высоты боковых [сторон|граней|вершин], проведенные к сторонам основания, [больше|параллельны|равны|перпендикулярны] между собой. Поэтому если h — высота боковой грани, проведенная из вершины \(М\) , то \(S\_{бок} = \dfrac{1}{2} AB \cdot h + \dfrac{1}{2} \cdot h +\) [ \(CD + h\) | \(2CD + h\) | \(\dfrac{1}{2}CD + h\) | \(\dfrac{1}{2}AB + h\) ] \(+\) [ \(DA + h\) | \(2CD + h\) | \(\dfrac{1}{2}DA + h\) | \(\dfrac{1}{2}AB + h\) ] \(= \dfrac{1}{2} (AB +\) [ \(DA + DC\) | \(BC + CD + DA\) | \(AB + CD + DA\) | \(BC + AC + DA\) ] \()h =\) [ ] \(P\_{осн} \cdot\) [ ] \(^2\)

2)Пусть \(МН \perp АВ\) , тогда \(ОН\) [ ] \(АВ\) (по теореме о [двух|трёх|четырёх] перпендикулярах), а значит, \(ОН\) — радиус [ ], вписанной в четырехугольник [ ].

3. Площадь \(S\) многоугольника, его периметр \(P\) и радиус \(r\) вписанной в многоугольник окружности связаны формулой \(S = \dfrac{1}{2}\) [ ] \(\cdot\) [ ], следовательно, \(r = 2\) [ ] \(:\) [ ] \(= 2 · 120 :\) [ ] \(=\) [ ] м.

4. В прямоугольном треугольнике \(МОН\ MH = h = \sqrt{OH^2} +\) [ ] \(= \sqrt{}\) [ ] \(+ 12^2 =\) . Следовательно, \(S\_{бок} = \dfrac{1}{2}\) [ ] \(\cdot\) [ ] \(=\) [ ](м \(^2\) ).

Ответ: \(S\_{бок.} =\) [ ] м \(^2\)