Используя теорему Вейерштрасса , докажи, имеет ли последовательность \((x_n)\) предел:

\(x_n = \frac{2n^2 + 7}{n^2}\).

В доказательстве используй следующий план.

1. Исследуй последовательность на монотонность. Заданная последовательность:

• не является монотонной
• является монотонной и возрастающей
• является монотонной и убывающей

2. Исследуй последовательность на ограниченность. Заданная последовательность:

• является ограниченной
• не является ограниченной
• является ограниченной снизу
• является ограниченной сверху

3. В выводах используй теорему Вейерштрасса.

Теорема Вейерштрасса:

• монотонная последовательность имеет предел
• монотонная и ограниченная последовательность сходится
• не монотонная последовательность не имеет предел
• ограниченная последовательность имеет предел
• последовательность, имеющая предел, монотонная

4. Выясни, имеет ли заданная последовательность предел:

• не имеет предела
• имеет предел

5. Вычисли предел последовательности:

\(\lim_{n \to \infty} x_n =\) 2.