Заполни пропуски в решении

На сторонах квадрата \(ABCD\) отметили точки \(M\) , \(N\) , \(K\) и \(P\) так, что \(AM:BM=CN:BN=CK:DK=AP:DP=5:2\) . Найди площадь четырёхугольника \(MNKP\) , если сторона квадрата равна \(a\) .

Решение.

\(AM=AP=\) [ \(CN\) | \(MP\) | \(NK\) ] \(=\) [ \(MP\) | \(NK\) | \(CK\) ] \(=\dfrac{5}{7}a\) , \(BM=\) [ \(BN\) | \(MN\) | \(PK\) ] \(=\) [ \(MN\) | \(PK\) | \(DK\) ] \(=\) [ \(DP\) | \(MN\) | \(PK\) ] \(=\) [ \(\dfrac{2}{7}\cdot a\) | \(\dfrac{2}{5}\cdot a\) ].

Прямоугольные треугольники \(MAP\) и[ \(KCN\) | \(BMN\) | \(PKD\) ] равны по[трём углам|двум катетам]. Аналогично \(\triangle MBN=\triangle\) [ \(KDP\) | \(PKD\) ].

Тогда \(MP=\) [ \(KC\) | \(KN\) ], \(MK=\) [ \(KP\) | \(BN\) ]. Следовательно, четырёхугольник \(MNKP\) —[квадрат|ромб|параллелограмм].

В треугольнике \(MAP\) : \(\angle A=90\degree\) , \(AM=AP\) . Следовательно, \(\angle AMP=\) [ \(45\degree\) | \(30\degree\) | \(60\degree\) ].

В треугольнике \(MBN\) : \(\angle B=90\degree\) , \(BM=BN\) . Следовательно, \(\angle BMN=\) [ \(45\degree\) | \(30\degree\) | \(60\degree\) ].

\(\angle NMP = 180\degree-(\angle AMP+\angle\) [ \(BMN\) | \(PNM\) ] \() =\) [ \(90\degree\) | \(30\degree\) | \(60\degree\) ].

Следовательно, параллелограмм \(MNKP\) является[квадратом|ромбом|прямоугольником].

Тогда \(S\_{MNKP}=MP\cdot\) [ \(MN\) | \(NK\) ].

В треугольнике \(MAP\) \((\angle A=90 \degree):MP=\sqrt{AM^2+AP^2}\) , \(MP=\) [ \(\dfrac{5}{7}\sqrt{2}a\) | \(\dfrac{50}{7}\cdot a\) ].

Из \(\triangle MBN\) \((\angle B=90\degree):MN=\) [ \(\dfrac{20}{7}\cdot a\) | \(\dfrac{2}{7}\sqrt{2}a\) ].

\(S\_{MNKP}=\) [ \(\dfrac{20}{49}\cdot a^2\) | \(\dfrac{20}{7}\cdot a^2\) ].

Ответ: \(S\_{MNKP}=\) [ \(\dfrac{20}{49}\cdot a^2\) | \(\dfrac{20}{7}\cdot a^2\) ].