Задание

Докажи теорему

Пусть a, b и c — стороны треугольника, причём a — его наибольшая сторона; если a^{2} \lt b^{2} + c^{2}, то треугольник остроугольный; если a^{2} \gt b^{2} + c^{2}, то треугольник тупоугольный; если a^{2} = b^{2} + c^{2}, то треугольник прямоугольный.

Доказательство:

По теореме косинусов:

a^{2} = + -2bc \cos \alpha .

Отсюда 2bc \cos \alpha = b^{2}+c^{2}-a^{2}.

Если a^{2} \lt b^{2} + c^{2}, то b^{2} + c^{2} − a^{2} 0. Следовательно, 2bc \cos \alpha 0, т. е. \cos \alpha 0. Поэтому угол \alpha — .

Поскольку a — наибольшая сторона треугольника, то против неё лежит угол, который, как мы доказали, является . Следовательно, в этом случае треугольник является .

Если a^{2} \gt b^{2} + c^{2}, то b^{2} + c^{2} − a^{2} 0. Значит, 2bc \cos \alpha \lt , т. е. \cos \alpha 0.

Следовательно, угол \alpha — . В этом случае треугольник является .

Если a^{2} = b^{2} + c^{2}, то 2bc \cos \alpha 0. Следовательно, \cos \alpha 0. Отсюда \alpha = ^\circ.

В этом случае треугольник является .