Задание

Заполни пропуски

Докажи теорему: площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон и синуса угла между ними.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник ABC, площадь которого равна S, такой, что BC=a, AC=b и \angle C=\gamma. Докажем, что S= .

Возможны три случая:

угол \gamma — острый (рис. а);

угол \gamma — тупой (рис. б);

угол \gamma — прямой.

Проведём высоту BD треугольника ABC (рис. а, б).

Тогда S=\dfrac{1}{2}BD\cdot =\dfrac{1}{2}BD\cdot .

В треугольнике BDC в первом случае (рис. а) BD=a\cdot , а во втором (рис. б) — BD=a\cdot = . Отсюда для обоих случаев имеем: S= .

Если угол C прямой, то \sin \gamma = . Для треугольника ABC с катетами AC и имеем:

S= \dfrac{1}{2}ab\sin .