Докажи теорему о градусной мере вписанного угла: градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Доказательство. Пусть угол ABC — вписанный. Докажем, что \angle ABC= Рассмотрим три случая расположения центра O окружности относительно вписанного угла ABC. Центр O принадлежит одной из сторон угла, например BC. Проведём радиус OA. Центральный угол AOC — угол равнобедренного треугольника ABO (стороны OA и равны как . Тогда \angle AOC=\angle A+\angle . Однако \angle A=\angle . Отсюда \angle ABC=\dfrac{1}{2}\angle = \frac{1}{2}\cup . Центр O принадлежит углу, однако не принадлежит ни одной из его сторон. Проведём диаметр BK. Согласно доказанному \angle ABK=\frac{1}{2}\cup , \angle KBC=\dfrac{1}{2}\cup . Имеем: \angle ABC=\angle ABK+\angle =\dfrac{1}{2}\cup +\dfrac{1}{2}\cup =\dfrac{1}{2}\cup . Центр O не принадлежит углу. Проведём диаметр BK. Согласно доказанному \angle ABK=\dfrac{1}{2}\cup , \angle CBK=\dfrac{1}{2}\cup . Имеем: \angle ABC = \angle ABK − \angle = =\dfrac{1}{2}\cup .

Задание

Заполни пропуски в доказательстве

Докажи теорему о градусной мере вписанного угла: градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Доказательство.

Пусть угол \(ABC\) — вписанный. Докажем, что \(\angle ABC=\) [ \(\dfrac{1}{2}\cup AB\) | \(\dfrac{1}{2}\cup AC\) | \(\dfrac{1}{2}\cup BC\) ]

Рассмотрим три случая расположения центра \(O\) окружности относительно вписанного угла \(ABC\) .

Центр \(O\) принадлежит одной из сторон угла, например \(BC\) .

Проведём радиус \(OA\) . Центральный угол \(AOC\) — [внешний|внутренний|острый] угол равнобедренного треугольника \(ABO\) (стороны \(OA\) и [ ] равны как [диаметры|радиусы|хорды]. Тогда \(\angle AOC=\angle A+\angle\) [ ]. Однако \(\angle A=\angle\) [ ]. Отсюда \(\angle ABC=\dfrac{1}{2}\angle \) [ ] \(= \frac{1}{2}\cup\) [ ].
Центр \(O\) принадлежит углу, однако не принадлежит ни одной из его сторон.
```
   Проведём диаметр  \(BK\) . Согласно доказанному  \(\angle ABK=\frac{1}{2}\cup\) [ ],  \(\angle KBC=\dfrac{1}{2}\cup\) [ ]. Имеем:          
```
\( \angle ABC=\angle ABK+\angle \) [ ] \(=\dfrac{1}{2}\cup\) [ ] \(+\dfrac{1}{2}\cup\) [ ] \(=\dfrac{1}{2}\cup\) [ ].
Центр O не принадлежит углу.
```
   Проведём диаметр  \(BK\) . Согласно доказанному  \(\angle ABK=\dfrac{1}{2}\cup\) [ ]      ,  \(\angle CBK=\dfrac{1}{2}\cup\) [ ]. Имеем:    
```
\(\angle ABC = \angle ABK − \angle \) [ ] \(=\) [ \(\dfrac{1}{2}\cup AС-\dfrac{1}{2}\cup CK\) | \(\dfrac{1}{2}\cup AK-\dfrac{1}{2}\cup AC\) | \(\dfrac{1}{2}\cup AK-\dfrac{1}{2}\cup CK\) ] \(=\dfrac{1}{2}\cup\) [ ].