Выполни задание

Докажи, что при любом натуральном \(n\) верны равенства:

\(\frac{1}{1 \cdot 5} + \frac{1}{3 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{3(2n - 1)(2n + 3)} = \frac{n(4n+5)}{3(2n + 1)(2n + 3)}\) . \((1)\)

Доказательство. Обозначим

\(A(n) = \frac{1}{1 \cdot 5} + \frac{1}{3 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{3(2n - 1)(2n + 3)}\) ;

\(B(n) = \frac{n(4n + 5)}{3(2n + 1)(2n + 3)}\) .

1. Если \(n = 1\) , то \(A(1) = \frac{1}{1 \cdot 5} = \frac{1}{5}, B(1) = \frac{1 \cdot 9}{3 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{1}{5}\) , т. е. \(A(n) = B(n)\) .

2. Предположим, что при \(n = k\) равенство \(A(k) = B(k)\) верно, и докажем, что тогда оно верно и при \(n = k + 1\) , т. е. что верно равенство \(A(k + 1) = B(k + 1)\) .

\(A(k + 1) - A(k) = \frac{1}{(2k + 1)(2k + 5)}\) ,

а \(B(k + 1) - B(k) =\)

\(\nobreak {\frac{(k + 1)(4k + 9)}{3(2k + 3)(2k + 5)} - \frac{k(4k + 5)}{3(2k + 1)(2k + 3)}=}\)

\(\nobreak {\frac{ ( k + 1 )( 4k + 9 )( 2k + 1 ) - k( 4k + 5 )( 2k + 5 ) }{ 3( 2k + 1 )( 2k + 3 )( 2k + 5 ) }=}\)

\(\nobreak {=\frac{ 8k^3 + 30k^2 + 31k + 9 - 8k^3 - 30k^2 - 25k }{ 3( 2k + 1 )( 2k + 3 )( 2k + 5 ) }=}\)

\(\nobreak {= \frac{ 6k + 9 }{ ( 2k + 1 )( 6k + 9 )( 2k + 5 ) } =\)

\( \nobreak {=\frac{1}{ ( 2k + 1 )( 2k + 5 ) }}\) .

Мы доказали, что \(A(k + 1) - A(k) = B(k + 1) - B(k)\) . Так как, по нашему предположению, \(A(k) = B(k)\) , то \(A(k + 1) = B(k + 1)\) .

3. Согласно принципу математической индукции, равенство \((1)\) верно для любого натурального числа \(n\) .

а) \(1 \cdot 3 + 2 \cdot 5 + \dots + n(2n + 1) = \cfrac{n(n + 1)(4n + 5)}{6}\) ;

б) \(\cfrac{1}{1 \cdot 3} + \cfrac{7}{3 \cdot 5} + \dots + \cfrac{2n^2 - 1}{ (2n - 1)(2n + 1) } = \cfrac{n^2}{2n + 1}\) ;

в) \(\cfrac{1 \cdot 4}{2 \cdot 3} + \cfrac{2 \cdot 5}{3 \cdot 4} + \dots + \cfrac{n(n + 3)}{ (n + 1)(n + 2) } = \cfrac{n(n + 1)}{n + 2}\) .