Задание

Заполни пропуски

Докажем справедливость неравенства

\cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{3}{4} \cdot \cfrac{5}{6} \cdot ... \cdot \cfrac{99}{100} \lt \cfrac{1}{10}.

Доказательство.

Обозначим A = \cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{3}{4} \cdot \cfrac{5}{6} \cdot ... \cdot \cfrac{99}{100}; \, \, B = \cfrac{2}{3} \cdot \cfrac{4}{5} \cdot \cfrac{6}{7} \cdot ... \cdot \cfrac{100}{101}..

Так как \cfrac{1}{2} \lt \cfrac{2}{3}, \cfrac{3}{4} \lt \cfrac{4}{5}, \cfrac{5}{6} \lt \cfrac{6}{7}, \space ... \space, \cfrac{99}{100} \lt \cfrac{100}{101}, то A B.

Так как A \gt 0, то A^{2} \lt AB. Так как AB = \cfrac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot ... \cdot 99 \cdot 100}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot ... \cdot 100 \cdot 101} = \cfrac{1}{101} \lt \cfrac{1}{100} = , то A^{2} \lt \left(\cfrac{1}{10}\right)^{2}.

Отсюда, учитывая, что A \gt , получаем A \lt , что и требовалось доказать.