Заполни пропуски

Доказать: \(S\_{сферы}=4 \pi R^2\) ,

где \(R\) — радиус сферы.

Доказательство.

Выведем формулу площади сферы через объём шара, ограниченного данной сферой.

Что же происходит с объёмами многогранника описанного около сферы и шара, ограниченного этой сферой, если данный многогранник будет иметь малые грани?

Пусть данный многогранник имеет \(n\) граней.

Тогда, если соединить все вершины граней с центром сферы \(O\) , получится \(n\) [пирамид|конусов]. С общей вершиной в точке \(O\) и основаниями — гранями многогранника. С высотами равными [радиусу|диаметру] сферы.

Следовательно, объём описанного многогранника:

\(V\_n=\displaystyle\sum\_{i=1}^n \dfrac{1}{3} \cdot S\_i \cdot R=\dfrac{1}{3} \cdot S\_n \cdot R\) ,

где \(S\_n\) — площадь многогранника.

Тогда объём многогранника будет больше объёма шара радиусом \(R\) , но меньше объёма шара радиусом \(R+\epsilon\) :

\(\dfrac{4}{3} \pi \cdot R^3\le\dfrac{1}{3} \cdot S\_n \cdot R \le \dfrac{4}{3} \pi \cdot (R+\epsilon)^3\) ,

\(4 \pi R^2\le S\_n \le 4\pi (R+\epsilon)^2(1+\dfrac{\epsilon}{R})\) ,

Очевидно, при увеличении \(n\) объём многогранника \(S\_n\) будет стремиться к объёму шара радиусом \(R\) . Поэтому договорились считать, что

\(S\_{сферы}=4 \pi R^2\) .